几何原本第二卷命题11(几何原本第二卷主要讨论)

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这一讲,我们继续《几何原本》第5卷“比例”中命题23的学习。该命题用现在的记法,相当于证明了如下结论:

如果有a、b、c与d、e、f两组量,且满足a/b=e/f,b/c=d/e,那么a/c=d/f。

命题 23:如果有三个量,又有与它们数量相等的三个量,从前三个量和后三个量中任取两个相应的量的比相等,若它们成调动比例,那么它们也成首末比例。

已知A、B和C是三个量,又有 D、E、F三个量,从前三个量中任取两个量的比与后三个量中的两个相应的量的比相同,且设它们成调动比例,即A比B等于E比F,且B比C等于D比E。

目标:证明A比C等于D比F。

证明:

1、设G、H和K分别是A、B和D的同倍量,L、M和N分别是C、E 和F的任意设定的同倍量。

2、因为G和H分别是A和B的同倍量,且部分间的比等于同倍量间的比【第5卷 命题15】,所以A比B等于G比H。

说明:该步骤运用了第5卷命题15的结论,命题15用现代的数学语言表述如下:

α/β=mα/(mβ)

3、同理,E比F等于M比N,且A比B等于E比F,所以G比H等于M比N。【第5卷 命题11】

说明:该步骤运用了第5卷命题11的结论,命题11用现代的数学语言表述如下:

如果a/b=c/d,c/d=e/f,那么a/b=e/f

4、又因为B比C等于D比E,所以其更比例B比D等于C比E。【第5卷 命题16】

说明:该步骤运用了第5卷命题16的结论,命题16用现代的数学语言表述如下:

如果a/b=c/d,那么a/c=b/d

5、因为H和K分别是B和D的同倍量,且部分间的比等于同倍量间的比【第5卷 命题15】,所以B比D等于H比K。

6、但B比D等于C比E,所以H比K等于C比E。【第5卷 命题11】

7、又因为L和M分别是C和E的同倍量,所以C比E等于L比M。【第5卷 命题15】

8、但是,C比E等于H比K,所以H比K等于L比M【第5卷 命题11】。于是其更比例H比L等于K比M【第5卷 命题16】。

9、且已经证明G比H等于M比N,H比L等于K比M。因为G、H和L是三个量,又有与它们个数相同的三个量K、 M和N,从三量中任取两个量的比与后三个量中相应的两个量的比相同,且设它们的比例是调动比例,所以首末项的关系是,如果G大于L,则K大于N;如果G等于L,则K等于N;如果G小于L,则K小于N。【第5卷 命题21】

说明:该步骤运用了第5卷命题21的结论,命题21用现代的数学语言表述如下:

如果有a、b、c与d、e、f两组量,且满足a/b=e/f,b/c=d/e,那么:

①如果a>c,那么d>f。

②如果a=c,那么d=f。

③如果a<c,那么d<f。

10、又,G和K分别是A和D的同倍量,L和N分别是C和F的同倍量,所以A比C等于D比F【第5卷 定义5】。

说明:该步骤逆运用第5卷定义5的结论,证明了A/C=D/F。定义5用现代的数学语言表述如下:

1、如果有四个量,分别为α(第一量)、β(第二量)、γ(第三量)、θ(第四量),且α/β=γ/θ。

2、如果将第一个量α与第三个量β都乘以任一整数m,将第三个量γ与第四个量θ乘以任一整数n,则有:

①如果mα>nβ,那么mγ>nθ;

②如果mα=nβ,那么mγ=nθ;

③如果mα<nβ,那么mγ<nβ。

证明完毕。

好了,这一讲就到这了。

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