高中数学求三角形周长最大值(周长一定,等边三角形面积最大)

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解三角形题目,一般来说难度并不大,但是三角形周长和面积的最值问题还是有一些难度的。

一般是填空题最后一个,或者是第一个大题第二问。

面积最值问题一般来说非常简单,周长最值问题还是有一些难度的。

面积问题:余弦定理+不等式!

2014全国一卷理

解析:式子处理还是比较简单的,正弦角化边,最后处理出来cosA=1/2 A=π/3。

三角形的面积公式S=bcsinA/2 所以要求面积最大值,也就是求bc的最大值。

这里一般还是利用余弦定理a2=b2+c2-2bcXcosA 得到a2=b2+c2-bc。

再根据基本不等式,可以得到bc+4≥2bc 所以bc≤4 所以面积最大值为√3。

周长问题:边化角,用三角函数来求。

第一问很简单,我们就不说了,第一问求出函数f(x)=(1/2)cos(2x+π/3)+1/4

带入4f(A)+1=0很容易得到A=π/3。

很多学生看到这儿,想要求周长的话,周长l=a+b+c=√3+b+c。

只需要求b+c的取值范围即可,是不是也可以用余弦定理+基本不等式呢?

大家可以去试试这一个思路,非常不好算,而且不一定算出来。

一般来说,算周长取值范围,我们是通过正弦定理,把边相加变成三角函数式求取值范围。

比如,l=a+b+c=√3+2RsinB+2RsinC 我们知道a/sinA=2

所以l=√3+2sinB+2sinC

很显然,要想求l的取值范围,我们需要处理成只含一个三角函数符号的式子。

所以再根据三角形内角和等于180°,A=π/3 ,所以 C=2π/3-B

所以最后l=2√3sin(C+π/6)+√3

又因为三角形是锐角三角形,所以C的取值范围在 π/6<C<π/2。

所以 π/3<C+π/6<2π/3 所以√3/2<sin(C+π/6)≤1

所以周长的取值范围是(3+√3,3√3]。

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大家可以做一下这一个练习题,也是求周长取值范围。

答案是(6,9],做完之后可以对一下答案。

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